代数几何

代数几何学是研究多项式方程的数学分支。现代代数几何学是以抽象代数，特别是换元代数的比较抽象的技术为基础，以几何学的语言和问题为基础。

代数几何学的主要研究对象是代数变种，代数变种是多项式方程系统解集的几何表现形式。代数变种中研究最多的一类例子是：平面代数曲线，包括线、圆、抛物线、椭圆、双曲线、椭圆曲线等立方曲线和列方曲线等四边形曲线以及卡西尼椭圆。平面上的一点如果其坐标满足给定的多项式方程，则属于代数曲线。基本的问题包括研究特别感兴趣的点，如奇点、拐点和无穷大的点。更高级的问题涉及到曲线的拓扑学和不同方程给出的曲线之间的关系。

代数几何学在现代数学中占有核心地位。它所使用的概念将它与复分析、拓扑学和数论等不同领域联系起来。一开始，代数几何学就是研究几个变量的多项式方程系统。代数几何的起点是方程解的出发点。在许多情况下，找到一个给定方程组的所有解所具有的特性比找到一个特定的解更重要：这导致进入所有数学中最深的一些领域，无论是在概念上还是在技术上。

在20世纪，代数几何学已经分裂成几个子领域。

• 代数几何学的主流是专门研究代数种的复点，更一般的是研究代数闭合场中的坐标点。
• 研究有理数域或数域中坐标的代数变体的点，成为代数数论的一个子领域--算术几何学（或更经典的迪奥芬特几何学）。
• 研究一个代数变量的实点，是实代几何学的主题。
• 奇异性理论中有很大一部分是关于代数品种的奇异性。
• 当计算机越来越普及时，一个名为"计算代数几何学"的领域发展起来。它着眼于代数几何和计算机代数的交叉。它关注的是算法和软件的发展，用于研究和寻找明确给定代数种类的特性。

20世纪代数几何学主流的发展大多发生在抽象代数框架内，越来越多地强调代数种类的"内在"特性，而不依赖于将种类嵌入环境坐标空间的任何特定方式。拓扑学、微分和复几何学的发展也是以同样的方式进行的。这种抽象代数几何学的一个关键成就是Grothendieck的方案理论，它允许人们用一种非常类似于微分和解析流形研究中使用的方式来研究代数品种。这是通过扩展点的概念得到的：在经典代数几何学中，通过Hilbert's Nullstellensatz，可以将一个仿生变种的点与坐标环的最大理想确定下来，而相应的仿生方案的点都是这个坐标环的质理想。这意味着这样一个方案的点可能是一个平常点，也可能是一个子变量。这种方法还可以使主要涉及复点的经典代数几何学和代数数论的语言和工具统一起来。Wiles对被称为费马最后定理的长期猜想的证明就是这种方法的力量的一个例子。

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