希尔伯特空间是一个数学概念，涵盖了欧几里得空间的维外使用--即超过三维的空间。希尔伯特空间使用二维和三维的数学来尝试描述大于三维的空间的情况。它是以大卫-希尔伯特命名的。
矢量代数和微积分是通常用于二维欧氏平面和三维空间的方法。在希尔伯特空间中，这些方法可以用在任何有限或无限的维度上。希尔伯特空间是一个矢量空间，它具有内积的结构，可以测量长度和角度。希尔伯特空间也必须是完整的，这意味着必须存在足够的极限，微积分才能发挥作用。
最早的希尔伯特空间是由大卫-希尔伯特（David Hilbert）、艾哈德-施密特（Erhard Schmidt）和弗里杰斯-里兹（Frigyes Riesz）在20世纪前十年研究出来的。约翰-冯-诺依曼首先提出了"希尔伯特空间"这个名字。希尔伯特空间方法对函数分析产生了很大的影响。
希尔伯特空间在数学、物理学和工程学中经常出现，通常作为无限维函数空间。它们对于研究偏微分方程、量子力学、傅里叶分析（包括信号处理和传热）特别有用。所有的欧氏空间也都是希尔伯特空间。希尔伯特空间的其他例子包括可积分函数空间、序列空间、由广义函数构成的Sobolev空间和全态函数的Hardy空间。
