调和级数

和声数列分叉的事实最早是在14世纪由Nicole Oresme证明的，但后来被遗忘了。17世纪由Pietro Mengoli、Johann Bernoulli和Jacob Bernoulli给出了证明。

谐音序列一直被建筑师们所使用。在巴洛克时期，建筑师在平面图的比例、立面以及教堂和宫殿的建筑细节之间的关系中使用了它们。

关于谐波系列的发散性，有几个著名的证明。下面给出其中的几个。

比较试验

证明发散性的一种方法是将谐波数列与另一个发散性数列进行比较，其中每个分母都用2的次大幂代替。

1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + ⋯ ≥ 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 16 + ⋯ {\displaystyle {\begin{aligned}&。{}1+{/frac {1}{2}}+{/frac {1}{3}}}+{/frac {1}{4}}}+{/frac {1}{5}}+{/frac {1}{6}}}+{/frac {1}{7}}}+{/frac {1}{8}}}+{/frac {1}{9}}}+cdots {[12pt]geq {}&。1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{color {red}{mathbf {4}。}}}+{{frac {1}{4}}+{frac {1}{color {red}{mathbf {8}。}}}+{frac {1}{color {red}{mathbf {8}。}}}+{frac {1}{color {red}{mathbf {8}。}}}+{{frac {1}{8}}+{frac {1}{color {red}{mathbf {16}。}}}+cdots ndend{aligned}}}。

谐波系列的每一个项都大于或等于第二个系列的相应项，因此，谐波系列的和一定大于或等于第二个系列的和。然而，第二个系列的和是无限的。

1 + ( 1 2 ) + ( 1 4 + 1 4 ) + ( 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 ) + ( 1 16 + ⋯ + 1 16 ) + ⋯ = 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ =∞ {begin{aligned}&{}1+/left({frac {1}{2}}/right)+/left({frac {1}{4}}/!+！{frac {1}{4}}right)+\left({frac {1}{8}}}!{frac {1}{16}}right)+cdots ={}&1+{frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}+{frac {1}{2}}}+cdots =infty end{aligned}}}}}。

由此可见（通过比较检验），谐波系列的和也一定是无限的。更准确地说，上述比较证明

∑n = 1 2 k 1 n ≥ 1 + k 2 {\displaystyle ∑sum _{n=1}^{2^{k}}{\frac {1}{n}}}\geq 1+{\frac {k}{2}}}。

对于每一个正整数k。

这个证明由Nicole Oresme在1350年左右提出，被认为是中世纪数学的一个高峰。今天，它仍然是数学课上教授的标准证明。

整体测试

通过将谐波数列的和与一个不恰当的积分进行比较，可以证明谐波数列发生了偏离。考虑右图所示的矩形的排列。每个矩形的宽是1个单位，高是1/n个单位，所以无限个矩形的总面积就是谐波数列的和。

矩形的面积=1+1 2+1 3+1 4+1 5+⋯ {\displaystyle {\begin{array}{c}{{text{area of}}\{text{rectangles}}end{array}}=1+{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{3}}}+{\frac {1}{4}}}+{\frac {1}{5}}}+cdots }。

从1到无穷大的曲线y=1/x下的总面积由一个发散的不恰当积分给出。

曲线下的面积 = ∫ 1 ∞ 1 x d x = ∞ 。{displaystyle {begin{array}{c}{{text{area under}}{c}{text{area under}}{curve}}{array}}=int _{1}^{/infty }{frac {1}{x}}{frac {1}{x}}},dx=\infty .}

既然这个面积完全包含在矩形内，那么矩形的总面积也一定是无限的。这就证明了

∑ n = 1 k 1 n > ∫ 1 k + 1 1 x d x = ln ( k + 1 ) 。{displaystyle /sum _{n=1}^{k}{/frac {1}{n}}}>/int _{1}^{k+1}{/frac {1}{x}}}/dx=ln（k+1）。}

这个论点的概括称为积分检验。

谐波系列的分化非常缓慢。例如，前¹⁰⁴³项之和小于100。这是因为系列的部分和具有对数增长。尤其是：

∑n = 1 k 1 n = ln k + γ + ε k ≤ ( ln k ) + 1 {\displaystyle _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}=\ln k+\gamma +\varepsilon _{k}leq (\ln k)+1}。

其中γ是Euler-Mascheroni常数，ε_k ~ 1/2k，随着k的无穷大而接近0。莱昂哈德-欧拉既证明了这一点，又证明了只包括质数的互数的和也是发散的，即。

∑ p prime 1 p = 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 11 + 1 13 + 1 17 + ⋯ = ∞ 。{displaystyle {sum _{p{text{ prime }}}{frac {1}{p}}={frac {1}{2}}}+{frac {1}{3}}}+{frac {1}{5}}}+{frac {1}{7}}}+{frac {1}{11}}}+{frac {1}{13}}}+{frac {1}{17}}}+cdots =infty .}

分歧谐系列的有限部分和。

H n = ∑ k = 1 n 1 k , {\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}},}。

称为谐数。

_Hn和ln n之间的差值趋近于欧拉-马舍罗尼常数。任何两个谐波数之间的差值都不是整数。除了H1=1，没有一个谐波数是整数。

交替谐波系列

该系列

∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n + 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ {{displaystyle {sum _{n=1}^{infty}{frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{frac {1}{2}}}+{frac {1}{3}}}-{frac {1}{4}}}+{frac {1}{5}}}-\cdots }。

被称为交替谐波系列。这个数列通过交替数列检验收敛。特别是，其和等于2的自然对数。

1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯=ln 2。{displaystyle 1-{/frac {1}{2}}+{/frac {1}{3}}-{/frac {1}{4}}+{/frac {1}{5}}-cdots =/ln 2.}。

交替谐波数列虽然是有条件收敛的，但并不是绝对收敛的：如果数列中的项被系统地重新排列，一般来说，总和会变得不同，而且取决于重新排列的情况，甚至可能是无限的。

交替谐波数列公式是墨卡托数列的特例，是自然对数的泰勒数列。

由泰勒数列可以得出相关的数列，求出正切值。

∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n 2 n + 1 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + ⋯ = π 4 。{displaystyle {sum _{n=0}^{/infty }{/frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{/frac {1}{3}}+{/frac {1}{5}}}-{/frac {1}{7}}}+cdots ={/frac {/pi }{4}}}.}

这就是所谓的莱布尼茨系列。

一般谐波系列

一般谐波系列的形式是

∑n = 0 ∞ 1 a n + b , {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{frac {1}{an+b}},}。

其中a≠0，b为实数，且b/a不是零或负整数。

通过与谐波系列的极限比较试验，所有的一般谐波系列也都出现了分歧。

P系列

谐波系列的一般化是p系列（或超谐波系列），定义为

∑n = 1 ∞ 1 n p {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{p }}}}

当p=1时，p序列是谐波序列，它发生了发散。无论是积分检验还是Cauchy凝聚检验，都表明p系列对所有p>1时收敛（在这种情况下，它被称为过谐数列），对所有p≤1时发散。如果p>1，则p系列的和为ζ(p)，即在p处评价的黎曼zeta函数。

寻找p=2的和的问题被称为巴塞尔问题；Leonhard Euler证明了它是π²/6。p=3的和值被称为阿佩里常数，因为罗杰-阿佩里证明它是一个无理数。

ln系列

与p系列相关的是ln系列，定义为

∑n = 2 ∞ 1 n ( ln n ) p {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{n(\ln n)^{p}}}}。

对于任何正实数p，这可以通过积分检验来证明，对于p≤1的情况下是发散的，但对于所有p>1的情况下是收敛的。

φ系列

对于任何一个凸的实值函数φ，使之

lim↪Zs_2006↩sup u → 0 + φ ( u 2 ) φ ( u ) < 1 2 , {displaystyle \limsup _{u/to 0^{+}}{frac {\varphi \left({frac {u}{2}}\right)}{varphi (u)}}<{frac {1}{2}}},}。

该系列

∑ n = 1 ∞ φ ( 1 n ) {\displaystyle _{n=1}^{\infty }varphi \left({\frac {1}{n}}\right)}。

是收敛的。^[]

随机谐波系列

随机谐波系列

∑n = 1 ∞ s n n , {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{frac {s_{n}}{n}},}。

其中_Sn是独立的、相同分布的随机变量，其取值为+1和-1的概率为1/2，是概率论中一个著名的随机变量系列的例子，它以概率1收敛。这种收敛性的事实是由Kolmogorov三序列定理或与之密切相关的Kolmogorov最大不等式所带来的一个简单结果。阿尔伯塔大学的Byron Schmuland进一步研究了随机谐波数列的特性，并表明收敛数列是一个具有一些有趣特性的随机变量。特别是这个随机变量的概率密度函数在+2或在-2处评价时，其值为0.12499999999999999999999999764......，与1/8相差不到10^-42。Schmuland的论文解释了为什么这个概率如此接近，但不完全是1/8。这个概率的精确值由无限余弦积积分_C2除以π给出。

贫乏的谐波系列

去掉分母中任何地方出现的数字9的所有项的耗尽谐波数列可以被证明是收敛的，其值小于80。事实上，当所有包含任何特定数字串的项（在任何基数上）都被删除时，该数列就会收敛。

谐波数列可能是反直觉的。这是因为它是一个发散的数列，尽管数列的项越来越小，并向零发展。谐波数列的发散性是一些悖论的来源。

• "橡皮筋上的虫子"。假设一只虫子沿着一条无限弹性的一米长的橡皮筋爬行，同时橡皮筋被均匀拉伸。如果虫子每分钟行进1厘米，橡皮筋每分钟拉伸1米，那么虫子是否能到达橡皮筋的末端呢？答案一反常态，是"能"，因为n分钟后，虫子走过的距离与橡皮筋总长度的比值是

1 100 ∑k = 1 n 1 k 。{displaystyle {frac {1}{100}}/sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}}.}

因为随着n的变大，这个系列会任意变大，最终这个比率一定会超过1，这意味着蠕虫到达了橡皮筋的末端。然而，发生这种情况的n值必须非常大：大约^e100，这个数字超过¹⁰⁴³分钟（¹⁰³⁷年）。虽然谐波系列确实发生了偏离，但其速度非常缓慢。

• 吉普问题问的是：一辆载油量有限的汽车要穿越沙漠，沿途留下油滴，共需要多少燃料。汽车在给定的燃料量下能走的距离与谐波系列的部分和有关，谐波系列按对数增长。所以所需的燃料随着所需距离的增加而成倍增加。

• 积木堆叠问题：给定一组相同的多米诺骨牌，可以将它们堆叠在桌子的边缘，使它们悬在桌子的边缘而不掉下来。反直觉的结果是，它们的堆叠方式可以使悬空的面积随你的要求而变大。也就是说，只要有足够的骨牌。

• 一个游泳者，每次接触池壁的速度都会更快。游泳者以2米/秒的速度开始穿越10米长的泳池，每穿越一次，速度就会再增加2米/秒。理论上，游泳者的速度是无限的，但要达到这个速度所需要的过池次数就会变得非常大，例如，要达到光速（忽略狭义相对论），游泳者需要过池1.5亿次。与这个大数相反，达到某一速度所需的时间取决于任何给定的过池次数时的系列之和。

10 2 ∑k = 1 n 1 k 。{displaystyle {frac {10}{2}}/sum _{k=1}^{n}{frac {1}{k}}.}

计算得出，达到光速所需的时间只有97秒。

• 谐音递进
• 互惠金额清单