薛定谔方程

薛定谔方程是一个微分方程（一种涉及未知函数而非未知数的方程），它构成了量子力学的基础，而量子力学是关于亚原子粒子行为的最精确理论之一。它是由埃尔温-薛定谔在1925年想到的一个数学方程。它定义了一个粒子或系统(粒子群)的波函数，它在空间的每一点、每一个给定的时间都有一定的值。这些值没有任何物理意义（事实上，它们在数学上是复杂的），但波函数却包含了可以知道的关于粒子或系统的所有信息。这些信息可以通过对波函数进行数学操作，返回与位置、动量、能量等物理属性有关的实值来找到。波函数可以被认为是这个粒子或系统如何随时间作用的图景，并尽可能全面地描述它。

波函数可以同时处于许多不同的状态，因此一个粒子可能同时具有许多不同的位置、能量、速度或其他物理性质（即"同时处于两个地方"）。然而，当测量其中一个属性时，它只有一个特定的值（不能绝对预测），因此波函数只处于一个特定的状态。这就是所谓的波函数塌陷，似乎是由观察或测量行为引起的。波函数塌陷的确切原因和解释，在科学界仍有广泛的争论。

对于一个在空间中只向一个方向运动的粒子，薛定谔方程的样子。

- ↪Ll_210F↩ 2 2 m ∂ 2 ∂ x 2 Ψ ( x ，t ) + V ( x ) Ψ ( x ，t ) = i ↪Ll_210F↩ ∂ t Ψ ( x 。t ) {displaystyle -{/frac {/hbar ^{2}}{2m}}{/frac {/partial ^{2}}{/partial x^{2}}/Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i/hbar {/frac {/partial }{/partial t}}/Psi (x,\,t)}。 $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\Psi (x,\,t)+V(x)\Psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (x,\,t)$

其中i {displaystyle i $i$ }是-1的平方根，↪Ll_210F↩ {displaystyle \hbar } $\hbar$ 是还原的普朗克常数，t {displaystyle t $t$ }是时间，x {displaystyle x}是位置。Ψ ( x , t ) {\displaystyle \Psi (x,\,t)} $\Psi (x,\,t)$ 是波函数，V ( x ) {\displaystyle V(x)} $V(x)$ 是势能，一个尚未选定的位置函数。左手边相当于作用在Ψ {displaystyle \Psi }上的Hamilton能量算子。 $\Psi$ .

维也纳大学的Erwin Schrödinger半身像。它还显示了一个薛定谔方程。

时间独立型

假设波函数Ψ（x，t）{\displaystyle \Psi（x，t）}。 $\Psi (x,t)$ ，是可分离的，即假设两个变量的函数可以写成一个变量的两个不同函数的乘积。

Ψ ( x , t ) = ψ ( x ) T ( t ) {\displaystyle \Psi (x,t)=/psi (x)T(t)}。 $\Psi (x,t)=\psi (x)T(t)$

那么，利用标准的偏微分方程数学技术，可以证明波浪方程可以改写为两个不同的微分方程。

i ↪Ll_210F↩ d T ( t ) d t = E T ( t ) {\displaystyle i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)}。 $i\hbar {\frac {dT(t)}{dt}}=E\,T(t)$

- 2 2 m d 2 ψ ( x ) d x 2 + V ( x ) ψ ( x ) = E ψ ( x ) {\displaystyle -{\frac {hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)}。 $-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi (x)}{dx^{2}}}+V(x)\psi (x)=E\,\psi (x)$

其中第一个方程完全取决于时间T ( t ) {\displaystyle T(t)}。 $T(t)$ ，而第二个方程只取决于位置ψ ( x ) {\displaystyle \psi (x)}。 $\psi (x)$ ，其中E{displaystyle E $E$ }只是一个数字。第一个方程可以立即解得

T ( t ) = e - i E t ↪Ll_210F↩ {\displaystyle T(t)=e^{-i{frac {Et}{\hbar }}}}。 $T(t)=e^{-i{\frac {Et}{\hbar }}}$

其中e {displaystyle e} $e$ 是欧拉数。第二方程的解取决于势能函数V ( x ) {\displaystyle V(x)}。 $V(x)$ ，所以在这个函数给定之前，不能求解。用量子力学可以证明，数E {\displaystyle E $E$ }实际上是系统的能量，所以这些可分离的波函数描述的是能量恒定的系统。由于在许多重要的物理系统中，能量是恒定的（例如：原子中的电子），所以经常使用上述分离微分方程组的第二个方程。这个方程被称为时间独立薛定谔方程，因为它不涉及t {\displaystyle t $t$ }。

波函数的解释

天生翻译

对波函数的哲学解释有很多，这里将考虑几个主要观点。主要的观点，称为Born概率解释（以物理学家Max Born的名字命名），来自于波函数是平方可积分的简单想法；即：。

∫ - ∞ ∞ | Ψ ( x , t ) | 2 d x < ∞ {displaystyle int _{-/infty }^{/infty }!||Psi (x,t)|^{2}dx</infty }。 $\int _{-\infty }^{\infty }\!|\Psi (x,t)|^{2}dx<\infty$

这个相当简单的公式具有很大的物理意义。Born假设，上述积分决定了粒子存在于空间的某处。但是，我们怎样才能找到它呢？我们用积分

∫ b a Ψ ( x , t ) d x = P ( b < x < a ) {\displaystyle \int _{b}^{a}！\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)}。 $\int _{b}^{a}\!\Psi (x,t)dx=P(b<x<a)$

其中P ( b < x < a ) {\displaystyle P(b<x<a)}是在从b {\displaystyle b}到a {\displaystyle a}的区域内找到粒子的 $b$ 概率 $P(b<x<a)$ 换句话说，一般来说，关于一个粒子可以预先知道的只是概率、平均值以及与其物理量（位置、动量等）相关的其他统计量。基本上，这就是Born的解释。

哥本哈根解释

可以对上述思想进行扩展。由于Born解释说，实际的位置粒子是无法知道的，所以我们可以推导出以下内容。如果Ψ 1 ，Ψ 2 ，Ψ 3 ，......Ψ n {\displaystyle \Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n} $\Psi _{1},\Psi _{2},\Psi _{3},\dots \Psi _{n}$ }都是波浪方程的解，那么这些解的叠加，即。

Ψ s = c 1 Ψ 1 + c 2 Ψ 2 + c 3 Ψ 3 + ⋯ + c n Ψ n {displaystyle Ψ Psi _{s}=c_{1}/Psi _{1}+c_{2}/Psi _{2}+c_{3}/Psi _{3}+/dots +c_{n}/Psi _{n}}}。 $\Psi _{s}=c_{1}\Psi _{1}+c_{2}\Psi _{2}+c_{3}\Psi _{3}+\dots +c_{n}\Psi _{n}$

也是一个解。那么，这就意味着，粒子存在于每一个可能的位置。当一个观察者来测量粒子的位置时，那么叠加就被简化为一个可能的波函数。即Ψs {\displaystyle \Psi _{s}}。 $\Psi _{s}$ → Ψ n {displaystyle _{n}} $\Psi _{n}$ ，其中Ψ n {\displaystyle \Psi _{n} $\Psi _{n}$ }是任何一种可能的波函数状态）。)这个想法，一个粒子的位置不能完全知道，一个粒子同时存在于多个位置，这就产生了不确定性原理。这个原理的数学公式可以用以下方式给出

Δ x Δ p > ↪Ll_210F↩ 2 {\displaystyle \Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}}}。 $\Delta x\Delta p>{\frac {\hbar }{2}}$

其中Δ x {\displaystyle \Delta x $\Delta x$ }是位置的不确定性，Δ p {\displaystyle \Delta p $\Delta p$ }是动量的不确定性。这个原理可以从量子力学定义的动量和位置之间的傅里叶变换中数学推导出来，但我们在本文中不会推导出来。

其他解释

还有其他各种解释，如多世界解释、量子决定论等。

问题和答案

问：什么是薛定谔方程？
答：薛定谔方程是构成量子力学基础的微分方程，由埃尔温-薛定谔于1925年提出。它定义了一个粒子或系统的波函数，在每一个给定的时间内，在空间的每一个点都有一定的值。

问：从操纵波函数中可以发现什么信息？
答：通过对波函数的数学操作，可以找到与位置、动量、能量等物理属性有关的真实数值。

问：当一个粒子可能同时具有许多不同的位置、能量、速度或其他物理特性时，这意味着什么？
答：这意味着波函数可以同时处于许多不同的状态，因此一个粒子可能同时具有许多不同的位置、能量、速度或其他物理特性（即 "同时处于两个地方"）。

问：什么是波函数坍缩？
答：波函数坍缩是指当测量这些属性之一时，它只有一个特定的值（不能肯定预测），因此波函数只处于一个特定的状态。这似乎是由观察或测量的行为引起的。

问：薛定谔方程的一些组成部分是什么？
答：薛定谔方程的组成部分包括：i，等于平方根-1；ℏ，代表缩小的普朗克常数；t，代表时间；x，代表位置；Ψ (x , t)，代表波函数；V(x)，代表作为尚未选定的位置函数的势能。

问：我们如何解释波函数坍缩？
答：波函数坍缩的确切原因和解释在科学界仍有广泛争论。