点积
在数学中,点积是一个将两个向量作为输入,并将一个标量数字作为输出的运算。返回的数字取决于两个向量的长度,以及它们之间的角度。这个名字来自于通常用来表示这个操作的中间点"-";另一个名字标量积强调了结果的标量(而不是矢量)性质。
点积与交叉积形成对比(在三维空间),交叉积的结果是一个矢量。
定义
两个向量a = [a1 , a2 , ..., an ] 和b = [b1 , b2 , ..., bn ] 的点积定义为。
a ⋅ b = ∑ i = 1 n a i b i = a 1 b 1 + a 2 b 2 + ⋯ + a n b n {displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}]
其中Σ表示求和符号(所有项的总和),n是矢量空间的维度。
在维度2中,向量[a,b]和[c,d]的点积是ac+bd。同样,在维度3中,向量[a,b,c]和[d,e,f]的点积是ad + be + cf。例如,两个三维向量[1, 3, -5]和[4, -2, -1]的点积是
[ 1 , 3 , - 5 ] ⋅ [ 4 , - 2 , - 1 ] = ( 1 × 4 ) + ( 3 × ( - 2 ) )+ {displaystyle [1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]=(1\times 4)+(3\times (-2))+((-5)\times (-1))=(4)-(6)+(5)=3。
几何学解释
在欧几里德几何学中,点积、长度和角度是相关的。对于一个向量a,点积a-a是a的长度的平方,或
a ⋅ a = ‖ a ‖ 2 {\displaystyle {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }=left\|\mathbf {a} \right\|^{2} }}=left\|mathbf {a}\right\|^{2}}。
其中||a||表示a的长度(幅度)。 更一般地说,如果b是另一个矢量
a ⋅ b = ‖ a ‖ b ‖ cos θ {displaystyle \mathbf {a} cdot \mathbf {b} =\left\||mathbf {a} `right\|,`left\|mathbf {b} `left\|mathbf {b} `left\Right\|cos theta\,}
其中||a||和||b||表示a和b的长度,θ是它们之间的角度。
这个公式可以重新排列,以确定两个非零向量之间的角度大小。
θ = arccos ( a ⋅ b ‖ a ‖ b ‖ ) {\displaystyle\theta =\arccos \left({frac {{mathbf {a}}\cdot {mathbf {b}}}{left\|{mathbf {a}}\right\|left\|{mathbf {b}}}\right\|}}\right) }
我们也可以首先通过除以它们的幅度将向量转换成单位向量。
a ^ = a ‖ a ‖ {\displaystyle {boldsymbol {hat {a}}={frac {mathbf {a}}{\left\|{mathbf {a}}\right\|}}}。
则角度θ由以下公式给出
θ = arccos ( a ^ ⋅ b ^ ) {\displaystyle\theta =arccos({\boldsymbol {hat {a}}\cdot {\boldsymbol {hat {b}})}。
由于90°的余弦为零,两个正交(垂直)矢量的点积总是为零。此外,当且仅当两个向量的点积为零,并且它们的长度都不为零时,才可以认为是正交的。这个属性提供了一个简单的方法来测试正交性的条件。
有时这些属性也被用来定义点积,特别是在2维和3维中;这个定义等同于上述定义。对于更高的维度,该公式可以用来定义角度的概念。
几何特性依赖于基础是正交的,即由具有单位长度的一对垂直向量组成。
标量投射
如果a和b的长度都是1(即,它们是单位向量),它们的点积只是给出了它们之间的角度的余弦。
如果只有b是单位向量,那么点积a-b就可以得到|a|cos(θ),即a在b方向上的投影大小,如果方向相反,就用减号。这被称为a对b的标量投影,或a在b方向的标量分量(见图)。点积的这一特性有几个有用的应用(例如,见下一节)。
如果a和b都不是单位向量,那么a在b方向的投影的大小,例如,将是a - (b / |b|) ,因为b方向的单位向量是b / |b|。
旋转
用旋转矩阵R对向量a进行旋转,就可以得到a的旋转。这个矩阵乘法只是点乘序列的紧凑表示。
例如,让
- B1 = {x, y, z}和B2 = {u, v, w}是同一空间R3 的两个不同的正态基,B2 只是通过旋转B1 得到。
- a1 = (ax , ay , az ) 代表向量a在B1 。
- a2 = (au , av , aw )代表同一向量的旋转基础B2 。
- u1 , v1 , w1 是旋转的基向量u, v, w,用B1 表示。
然后,从B1 到B2 的旋转按如下方式进行。
a 2 = R a 1 = [ u x u y u z v x v y v z w x w y w z ] [ a x a y a z ] = [ u 1⋅ a 1 v 1⋅ a 1 w 1⋅ a 1 ] = [ a u a v a w ] 。{\displaystyle {\mathbf {a}}_{2}={\mathbf {Ra}}_{1}={\begin{bmatrix}u_{x}&u_{y}&u_{z}\\v_{x}&v_{y}&v_{z}\\w_{x}&w_{y}&w_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{x}\\a_{y}\\a_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\mathbf {u}}_{1}\cdot {\mathbf {a}}_{1}\\{\mathbf{v}_{1}cdot {a}_{1}\{mathbf {w}_{1}\cdot {a}_{1}\end{bmatrix}}={begin{bmatrix}a_{u}\a_{v}\a_{w}\end{bmatrix}}。}
请注意,旋转矩阵R是通过使用旋转基向量u1 , v1 , w1 作为其行来组装的,这些向量是单位向量。根据定义,Ra1 由R的三行中的每一行与向量a1 之间的点积序列组成。这些点积中的每一个都决定了a在旋转基向量方向上的标量分量(见上节)。
如果一个1 是行向量,而不是列向量,那么R必须在其列中包含旋转的基向量,并且必须对一个1 进行后乘。
a 2 = a 1 R = [ a x a y a z ] [ u x v x w x u y v y w y u z v z w z ] = [ u 1⋅ a 1 v 1⋅ a 1 w 1⋅ a 1 ] = [ a u a v a w ] 。{displaystyle {mathbf {a}}_{2}={mathbf {a}}_{1}{mathbf {R}}={begin{bmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{x}&v_{x}&w_{x}\\u_{y}&v_{y}&w_{y}\\u_{z}&v_{z}&w_{z}\end{bmatrix}}={begin{bmatrix}{mathbf {u}}_{1}\cdot {mathbf {a}}_{1}&{mathbf {v}}_{1}\cdot {mathbf {a}_{1}&{\mathbf {w}}_{1}\cdot {\mathbf {a}}_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{u}&a_{v}&a_{w}\end{bmatrix}}.}
A - B = |A| |B| cos(θ)。 |A| cos(θ)是A对B的标量投影。
属性
如果a、b、c是实数向量,r是标量,则以下性质成立。
点积是交换性的。
a ⋅ b = b ⋅ a . {displaystyle\mathbf {a} cdot \mathbf {b} =mathbf {b} .\cdot /mathbf {a} 。}
点积是对矢量加法的分配。
a ⋅ ( b + c ) = a ⋅ b + a ⋅ c 。{displaystyle {mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} +\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} 。+mathbf {a} \cdot \mathbf {c} .}
点积是双线性的。
a ⋅ ( r b + c ) = r ( a ⋅ b ) + ( a ⋅ c ) 。{displaystyle {a} \cdot (r\mathbf {b} +\mathbf {c} )=r(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} ) 。}
当与一个标量值相乘时,点积满足。
( c 1 a ) ⋅ ( c 2 b ) = ( c 1 c 2 ) ( a ⋅ b ) {displaystyle (c_{1}\mathbf {a} )\cdot (c_{2}\mathbf {b} )=(c_{1}c_{2})(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b})}
(这后两个属性是由前两个属性得出的)。
当且仅当a-b=0时,两个非零矢量a和b是垂直的。
与普通数字的乘法不同,如果ab=ac,那么b总是等于c,除非a为零,但点积不遵守取消法则。
如果a-b=a-c且a≠0,那么我们可以根据分配律写出:a-(b-c)=0;上面的结果说这只是意味着a垂直于(b-c),这仍然允许(b-c)≠0,因此b≠c。
只要基是正交的,点积在基的等距变化下是不变的:旋转、反射和组合,保持原点不变。上面提到的几何学解释依赖于这一属性。换句话说,对于一个具有任意维数的正交空间,点积在基于正交矩阵的坐标变换下是不变的。这对应于以下两个条件。
- 新的基础又是正态的(即在旧的基础上表达的是正态的)。
- 新的基数向量与旧的基数具有相同的长度(即以旧的基数为单位的长度)。
如果a和b是函数,那么a-b的导数是a'-b+a-b'
三重产品扩展
这是一个非常有用的特性(也被称为拉格朗日公式),涉及点积和交叉积。它被写成
a × ( b × c ) = b ( a ⋅ c ) - c ( a ⋅ b ) {displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} ) =\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\ǞǞ(ǞǞǞǞǞ)}
更容易记住的是 "BAC减去CAB",记住哪些向量是点在一起的。这个公式通常用于简化物理学中的矢量计算。
几何解释的证明
考虑R的元素n
v = v 1 e ^ 1 + v 2 e ^ 2 + . . .+ v n e ^ n .{displaystyle {v} =v_{1}\mathbf {hat {e}} _{1}+v_{2}\mathbf {hat {e}} ._{1}+v_{2}\mathbf {hat {e}} _{2}+...。_{2}+...+v_{n}\mathbf {hat {e}}._{n}.\,}
重复应用毕达哥拉斯定理,可以得到其长度|v|。
| v | 2 = v 1 2 + v 2 2 + . . .+ v n 2 。{displaystyle |mathbf {v} |^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+...+v n 2 。|^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+...+v_{n}^{2}.\,}
但这与
v ⋅ v = v 1 2 + v 2 2 + . . .+ v n 2 , {displaystyle\mathbf {v}\cdot\mathbf {v} =v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+...+v_{n}^{2},}。
所以我们得出结论,将一个向量v与它本身的点积得到该向量的平方长度。
定理1
v ⋅ v = | v | 2 。{displaystyle {mathbf {v} {cdot {mathbf {v} =|\mathbf {v}} 。|^{2}.\,}
现在考虑从原点延伸的两个矢量a和b,它们之间相隔一个角度θ。第三个矢量c可以定义为
c = d e f a - b 。{fnTahomafs10bord0shad01cH00FFFF}{displaystyle}mathbf {c}.\ {fnTahomafs10bord0shad01cH00FFFF}{stackrel {fnTahomafs10bord0shad01cH00FFFF}}}{stackrel {mathrm {def}}.}{=}}\mathbf {a} -mathbf {b} .\,}。
形成一个边长为a、b、c的三角形。 根据余弦定律,我们有
| c | 2 = | a | 2 + | b | 2 - 2 | a | b | cos θ。{fnTahomafs10bord0shad01cH00FFFF}{displaystyle}|mathbf {c}}}}}^{2}=|mathbf {a}.|^{2}=|mathbf {a}|^{2}+|mathbf {c}。|^{2}+|mathbf {b}|^{2}-2|mathbf {b}。|^{2}-2||mathbf {a}||mathbf {b}|||mathbf {b}||mathbf {b}|cos /theta.,}
根据定理1,用点积代替长度的平方,我们得到
c ⋅ c = a ⋅ a + b ⋅ b - 2 | a | b | cos θ 。\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} 。\2||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||mathbf {b}||mathbf {b}。|\ (1)
但由于c≡a-b,我们也有
c ⋅ c = ( a - b ) ⋅ ( a - b ) {\displaystyle \mathbf {c}\cdot \mathbf {c} =(\mathbf {a} -\mathbf {b} )cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} ), } 。
根据分配律,它扩展为
c ⋅ c = a ⋅ a + b ⋅ b - 2 ( a ⋅ b ) 。\cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} 。\cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} cdot \mathbf {b} ).\,} (2)
合并两个c-c方程,(1)和(2),我们得到
a ⋅ a + b ⋅ b - 2 ( a ⋅ b ) = a ⋅ a + b ⋅ b - 2 | a | b | cos θ。{displaystyle {mathbf {a} cdot {mathbf {a} +mathbf {b}}。\cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \mathbf {b} )=\mathbf {a} \mathbf {a} +\mathbf {b)\2||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||mathbf {b}||mathbf {b}。|cos /theta.,}
从两边减去a-a+b-b,再除以-2,就可以得出结论。
a ⋅ b = | a | b = cos θ 。{displaystyle {mathbf {a} {cdot {mathbf {b} =|||mathbf {a} {displaystyle {mathbf {b} =|||mathbf {b}。|cos θ ...,}。
Q.E.D.
归纳
内积将点积推广到抽象的向量空间,通常用⟨ a , b ⟩ {\displaystyle \langle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} 表示。\矩形 }.由于点积的几何解释,向量a在这样一个内积空间中的规范||a||定义为
‖ a ‖ = ⟨ a , a ⟩ {displaystyle\|\mathbf {a}\|={sqrt {langle\mathbf {a}\,, \mathbf {a} rangle }}.
这样,它概括了长度,而两个向量a和b之间的角度θ由
cos θ = ⟨ a , b ⟩ ‖ a ‖ b ‖ 。{displaystyle {cos {theta }={frac {langle {mathbf {a} },,{mathbf {b} }.\langle }{|\mathbf {a}\|,|\mathbf {b}\|\|}}.}
特别是,如果两个向量的内积为零,则被认为是正交的。
⟨ a , b ⟩ = 0. {displaystyle \langle \mathbf {a} \,,\mathbf {b} =0.\矩形=0.}。
对于有复数项的向量,使用给定的点积定义会导致相当不同的几何特性。例如,一个向量与它本身的点积可以是一个任意的复数,并且可以是零,而该向量不是零向量;这又会对长度和角度等概念产生严重后果。许多几何特性可以被挽救,但代价是放弃标量积的对称和双线性特性,方法是替代性地定义为
a ⋅ b = ∑ a i b i ¯ {\displaystyle\mathbf {a} \cdot\mathbf {b} =\sum {a_{i}{overline {b_{i}}}}}
其中bi 是bi 的复共轭。那么任何矢量与自身的标量积都是一个非负实数,而且除了零矢量之外都是非零。然而这个标量积在b中不是线性的(而是共轭线性的),而且标量积也不是对称的,因为
a ⋅ b = b ⋅ a ¯ {displaystyle \mathbf {a} cdot \mathbf {b} ={overline {mathbf {b}}.\జజజజజ}} 。
然而,这种类型的标量积是相当有用的,并导致了赫米特形式和一般内积空间的概念。
Frobenius内积将点积推广到矩阵。它被定义为具有相同大小的两个矩阵的相应分量的乘积之和。
对张量的泛化
一个n阶的张量和一个m阶的张量之间的点积是一个n+m-2阶的张量。点积是通过在两个张量中的一个索引上进行相乘和计算出来的。如果A {displaystyle mathbf {A}} 和 B {displaystyle\mathbf {B}.} 是两个张量,其元素表示为A i j ... k ℓ ... {displaystyle A_{ij\dots }^{kell\dots } 和 B m n ... p ... i {displaystyle B_{mn\dots }^{p{\dots }i}} ,点积A⋅B的元素 {displaystyle \mathbf {A}} 。\cdot \mathbf {B}的元素。} 是由以下公式给出的
A i j ... k ℓ ... B m n ... p ... i = ∑ i = 1 n A i j ... k ... B m n ... p ...i {displaystyle A_{ij\dots }^{kell\dots }B_{mn\dots }^{p{dots }i}=\sum _{i=1}^{n}A_{ij\dots }^{kell\dots }B_{mn\dots }^{p{dots }i}。
这个定义在应用于向量时,自然可以简化为标准的向量点积,在应用于矩阵时,可以简化为矩阵乘法。
偶尔,双点积被用来表示跨两个索引的乘法和。两个二阶张量之间的双点积是一个标量。
问题和答案
问:什么是数学中的点积?答:点积是将两个向量作为输入,并将一个标量数作为输出返回的运算。
问:点积取决于什么?
答:点积取决于两个向量的长度和它们之间的夹角。
问:为什么点积的名称源自居中的点"-"?
答:点积的名称来源于居中的点"-",它经常被用来表示这一运算。
问:点积的另一个名称是什么?
答:另一个名称是标量积,它强调结果的标量(而不是矢量)性质。
问:在三维空间中,点积和叉积有什么不同?
答:点积的结果是标量,而交积的结果是矢量。
问:点积在数学中的用途是什么?
答:点积可用于确定两个向量是否垂直(角度为 90 度),以及将一个向量投影到另一个向量上。
问:点积可以用于高维空间吗?
答:可以,点积可以通过概括定义扩展到高维空间。